MAKALAH MATEMATIKA : SISTEM KOORDINAT

BAB I

SISTEM KOORDINAT

1.1      Sistem Koordinat

Sistem koordinat adalah suatu cara yang digunakan untuk menentukan letak suatu titik pada bidang  atau ruang . Beberapa macam sistem koordinat yang kita kenal, antara lain sistem koordinat Cartesius (Rene Descartes: 1596-1650), sistem koordinat kutub, sistem koordinat tabung, dan sistem koordinat bola. Pada bidang (R²), letak titik pada umumnya dinyatakan dalam koordinat Cartesius dan koordinat kutub. Sedangkan pada ruang (R³) letak suatu titik pada umumnya dinyatakan dalam koordinat Cartesius, koordinat tabung dan koordinat bola.

1.2      Sisten Koordinat dalam Bidang (R²)

Sebagaimana telah dijelaskan di atas, bahwa letak suatu titik dalam bidang dinyatakan dalam koordinat Cartesius dan koordinat kutub. Masing-masing sistem koordinat dalam bidang dijabarkan sebagai berikut:

1)  Sistem Koordinat Cartesius

 

Gambar 1

            Berdasarkan Gambar 1 di atas,  terdapat 4 bidang simetris yang dibatasi oleh sumbu-sumbu koordinat X dan Y, masing-masing bidang yang dibatasi oleh bidang dinamakan kwadran, sehingga terdapat 4 kwadran, yaitu kuadran I (x>0, y>0), kwadran II (x<0 y="">0), kwadran III (x<0 dan="" iv="" kwadran="" x="" y="">0, y<0 absis="" atau="" besaran="" bidang="" dan="" dapat="" dikwadran="" disebut="" i="" ii="" iii="" iv="" jika="" koordinat.="" kwadran="" letak="" maka="" misalkan="" nbsp="" o:p="" ordinat="" p="" pada="" posisinya="" sebarang="" tergantung="" tersebut="" titik="" x="" xoy="" y.="" y="">

Perhatikan gambar berikut ini.

Misal P(x₁,y₁) dan terletak di kwadran I hal ini berarti x₁ >0 dan y₁ >0

 

                     Gambar 2

Berdasarkan gambar 2 di atas, tampak suatu segitiga yaitu yang salah satu sudutnya siku-siku dititik M. Menurut teorema Pythagoras

OP²       = OM² + MP²

            = (x₁-0)² + (y₁-0)²

            = x₁² + y₁²

            =

atau ditulis dengan notasi

Rumus di atas dinamakan rumus jarak dua titik yang menghubungkan titik O(0,0) dengan titik P(x,y)

Selanjutnya perhatikan gambar berikut.

 

  

   

Gambar 3

Gambar 3 di atas menunjukkan segitiga PQR yang masing-masing titik sudutnya yaitu  terletak pada kuadran II,  terletak pada kuadran IV,  terletak pada kuadran III dan jarak masing-masing titik dinyatakan oleh:

1.    

             

2.    

              

3.    

             

2) Sistem Koordinat Kutub

Sistem koordinat Cartesius, menyatakan bahwa letak titik pada bidang dinyatakan dengan pasangan , dengan x dan y masing-masing menyatakan jarak berarah ke sumbu-y dan ke sumbu-x. Pada sistem koordinat kutub, letak sebarang titik P pada bidang dinyatakan dengan pasangan bilangan real  , dengan r menyatakan jarak titik P ke titik O (disebut kutub) sedangkan q adalah sudut antara sinar yang memancar dari titik O melewati titik P dengan sumbu-x positif (disebut sumbu kutub)

 

                                                                

Gambar 4

Berbeda dengan sistem koordinat Cartesius (Rene Descartes: 1596-1650) dalam koordinat kutub letak suatu titik dapat dinyatakan dalam tak hingga banyak koordinat. Sebagai contoh, letak titik  dapat digambarkan dengan cara terlebih dulu melukiskan sinar yang memancar dari titik asal O dengan sudut sebesar  radian terhadap sumbu mendatar arah positif. Kemudian titik P terletak pada sinar tadi dan berjarak 3 satuan dari titik asal O (lihat Gambar 1.2.4 (a)). Titik P dapat pula dinyatakan dalam koordinat , dengan k bilangan bulat (lihat Gambar 1.2.4 (b)). Mudah ditunjukkan pula bahwa koordinat  pun juga menggambarkan titik P (lihat Gambar 1.2.4 (c)). Pada koordinat yang terakhir, jarak bertanda negatif. Hal ini dikarenakan titik P terletak pada bayangan sinar .

                 

                     

		3
								(b)
			(a)

 

                                      

                     

			3
		(c)

 

Gambar 5

Secara umum, jika  menyatakan koordinat kutub suatu titik maka koordinat titik tersebut dapat pula dinyatakan sebagai berikut:

    atau         dengan k bilangan bulat.

Kutub mempunyai koordinat  dengan q  sebarang bilangan.

Hubungan Antara Sistem Koordinat Cartesius dan Sistem Koordinat Kutub

Suatu titik P berkoordinat  dalam sistem koordinat Cartesius dan  dalam sistem koordinat kutub. Apabila kutub dan titik asal diimpitkan, emikian pula sumbu kutub dan sumbu-x positif juga diimpitkan, maka kedudukan titik dapat digambarkan sebagai berikut:

 

                               

Gambar 6

Dari rumus segitiga diperoleh hubungan sebagai berikut:

(1.1)                          

atau:

(1.2)                          

Contoh

1)     Nyatakan ke dalam system koordinat Cartesius.

a.                b.               c.

Jawab

Dengan menggunakan persamaan (1.1):

a. .

Jadi, .

b..

Jadi, dalam system koordinat Cartesius .

c..

Jadi, .

            Apabila  maka persamaan (1.2) dapat dinyatakan sebagai:

(1.3)                          

Hati-hati apabila menggunakan persamaan (1.3), karena  akan memberikan 2 nilai q yang berbeda, . Untuk menentukan nilai q  yang benar perlu diperhatikan letak titik P, apakah di kwadran I atau II, ataukah dikwadran II atau IV. Apabila dipilih nilai q  yang lain, maka .

2)     Nyatakan ke dalam sistem koordinat kutub:

a.                   b.

Penyelesaian: Dari persamaan (1.3), diperoleh:

a.        

           

            Selanjutnya, karena letak titik P di kwadran IV, maka:

            , atau

            .

Jadi,  atau .

b.       

           

            Selanjutnya, karena letak titik Q di kwadran II, maka:

            , atau

            .

Jadi,  atau .

3)     Nyatakan persamaan  ke dalam sistem koordinat Cartesius.

Jawab

Jika ke dua ruas persamaan di atas dikalikan dengan r maka diperoleh:

           

Selanjutnya, karena  dan  maka:

           

yaitu persamaan lingkaran dengan pusat  dan jari-jari .

4)     Nyatakan  ke dalam system koordinat kutub.

Penyelesaian: Dengan substitusi  maka diperoleh:

           

           

 

Soal Latihan

Untuk soal 1 – 8, nyatakan masing-masing dengan dua koordinat yang lain, satu dengan  dan yang lain dengan .

1.                    2.               3.                 4.

5.               6.            7.                8.

Untuk soal 9 – 16, nyatakan dalam sistem koordinat Cartesius.

9.                  10.               11.               12.

13.                         14.          15.                         16.

Untuk soal 17 – 23, ubahlah ke dalam sistem koordinat kutub.

17.                 18.                      19.              20.

21.                  22.                23.     

Untuk soal 24 – 29, nyatakan masing-masing persamaan ke dalam sistem koordinat Cartesius.

24.                                     25.                    26.

27.                               28.                             29.

Nyatakan persamaan pada soal 30 – 32 ke dalam sistem koordinat kutub.

30.                           31.                       32.

33. Tunjukkan bahwa jarak titik  dan  adalah:

                       

1.3      Sistem Koordinat dalam Ruang (R³)

1) Koordinat Cartesius

Untuk menyatakan posisi sebuah benda di dalam ruang, dibutuhkan suatu sistem koordinat yang memiliki pusat koordinat dan sumbu koordinat. Sistem koordinat yang paling umum adalah Koordinat Cartesius. Jika kita berbicara ruang 2 dimensi, maka koordinat Kartesian 2 dimensi memiliki pusat di O dan 2 sumbu koordinat yang saling tegaklurus, yaitu x dan y.

Selanjutnya koordinat Kartesian 2 dimensi dapat diperluas menjadi Kartesian 3 dimensi yang berpusat di O dan memiliki sumbu x, y dan z. Pada Gambar berikut menyatakan titik P dapat dinyatakan dalam x, y dan z. OP adalah jarak titik P ke pusat O.

Gambar 7

Koordinat Cartesius 3 dimensi (x, y, z) pada Gambar 7 di atas dapat diubah menjadi Koordinat Tabung dan koordinat bola.

Hubungan diantara ketiganya, jika P(x,y,z) adalah letak titik dalam koordinat Cartesius, maka adalah letak dalam koordinat tabung dan  adalah titik dalam koordinat bola (Spherical Coordinate).

Hubungan ketiga koordinat dapat digambarkan sebagai berikut:

 

Gambar 8

Koordinat Cartesius dan koordinat tabung dihubungkan oleh persamaan:

Perhatikan contoh berikut:

1.     (3,3,5) menyatakan letak titik P pada ruang dalam koordinat Cartesius. Ubah dan Nyatakan letak titik P dalam koordinat tabung.

Jawab

Koordinat Cartesius dan koordinat tabung dinyatakan dalam hubungan

    ,  ,,dan  sehingga:

    

      

      Jadi koordinat tabung dari  adalah

2.     menyatakan letak titik Q pada ruang dalam koordinat tabung. Ubah dan Nyatakan letak titik Q dalam koordinat Cartesius.

Jawab

Koordinat Cartesius dan koordinat tabung dinyatakan dalam hubungan

      ,  ,,dan  sehingga:

    

     

      Jadi koordinat Cartesius  adalah

3.      menyatakan letak titik W dalam koordinat bola. Ubah dan nyatakan letak titik W dalam koordinat Cartesius dan koordinat tabung.

Jawab

Koordinat Cartesius, koordinat tabung dan koordinat bola mempunyai hubungan sebagai berikut:

sehingga dari titik  diketahui

dan diperoleh

Jadi koordinat Cartesius  adalah , dan koordinat tabung adalah .

4.      menyatakan letak titik M dalam koordinat Cartesius. Ubah dan nyatakan letak titik W dalam koordinat tabung dan koordinat bola.

Jawab

Koordinat Cartesius, koordinat tabung dan koordinat bola mempunyai hubungan sebagai berikut:

sehingga dari titik  diketahui

dan diperoleh

 Jadi koordinat tabung  adalah , dan koordinat bola    adalah .

5.      menyatakan letak titik T dalam koordinat tabung. Ubah dan nyatakan letak titik T dalam koordinat Cartesius dan koordinat bola.

Jawab

Koordinat Cartesius, koordinat tabung dan koordinat bola mempunyai hubungan sebagai berikut:

sehingga dari titik  diketahui  dan diperoleh  

Jadi koordinat Cartesius  adalah , dan koordinat bola adalah .

Untuk latihan bagi pembaca ubah koordinat berikut dalam koordinat yang sesuai:

No	Koordinat
	Cartesius	Tabung	Bola
1.
2.			....
3.		....	....
4.		....	....
5.	....		....
6.	....		....
7.	....		.....
8.	....	....
9.	....	....
10.	.....	....
11.	....	....

Di atas telah dibahas transformasi dari koordinat Cartesius ke koordinat tabung dan koordinat bola.

1.4 Sistem Koordinat Lainnya

Selain sistem koordinat di atas, terdapat beberapa sistem koordinat yang penggunaannya dalam ilmu hisab. Sistem koordinat tersebut adalah:

1.     Koordinat Ekliptika Heliosentrik (Heliocentric Ecliptical Coordinate).

2.     Koordinat Ekliptika Geosentrik (Geocentric Ecliptical Coordinate).

3.     Koordinat Ekuator Geosentrik (Geocentric Equatorial Coordinate).

4.     Koordinat Horison (Horizontal Coordinate).

Keempat sistem koordinat di atas termasuk ke dalam koordinat bola. Sebenarnya masih ada sistem koordinat lainnya, seperti Sistem Koordinat Ekuator Toposentrik (Topocentric Equatorial Coordinate). Namun tidak dibahas dalam tulisan ini. Sekilas, banyaknya sistem koordinat di atas bisa membuat rumit. Namun pembagian sistem koordinat di atas berasal dari benda langit manakah yang dijadikan pusat koordinat, apakah bidang datar sebagai referensi serta bagaimana cara mengukur posisi benda langit lainnya. Penting pula untuk diketahui bahwa seluruh benda langit dapat dianggap seperti titik. Bisa pula dianggap seperti benda yang seluruhnya terkonsentrasi di pusat benda tersebut. Jika kita memperoleh jarak bumi-bulan, maka yang dimaksud adalah jarak antara pusat bumi dengan pusat bulan.

Sistem Koordinat Ekliptika Heliosentrik dan Sistem Koordinat Ekliptika Geosentrik sebenarnya identik. Yang membedakan keduanya hanyalah manakah yang menjadi pusat koordinat. Pada Sistem Koordinat Ekliptika Heliosentrik, yang menjadi pusat koordinat adalah matahari (helio = matahari). Sedangkan pada Sistem Koordinat Ekliptika Geosentrik, yang menjadi pusat koordinat adalah bumi (geo = bumi). Karena itu keduanya dapat digabungkan menjadi Sistem Koordinat Ekliptika. Pada Sistem Koordinat Ekliptika, yang menjadi bidang datar sebagai referensi adalah bidang orbit bumi mengitari matahari (heliosentrik) yang juga sama dengan bidang orbit matahari mengitari bumi (geosentrik).

Sistem Koordinat Ekliptika Heliosentrik (Heliocentric Ecliptical Coordinate)

Pada koordinat ini, matahari (sun) menjadi pusat koordinat. Benda langit lainnya seperti bumi (earth) dan planet bergerak mengitari matahari. Bidang datar yang identik dengan bidang xy adalah bidang ekliptika yatu bidang bumi mengitari matahari.

Gambar 9

Sistem Koordinat Ekliptika Heliosentrik

1.     Pusat koordinat: Matahari (Sun).

2.     Bidang datar referensi: Bidang orbit bumi mengitari matahari (bidang ekliptika) yaitu bidang xy.

3.     Titik referensi: Vernal Ekuinoks (VE), didefinisikan sebagai sumbu x.

4.     Koordinat:

5.     r = jarak (radius) benda langit ke matahari

6.     l = sudut bujur ekliptika (ecliptical longitude), dihitung dari VE berlawanan arah jarum jam

7.     b = sudut lintang ekliptika (ecliptical latitude), yaitu sudut antara garis penghubung benda langit-matahari dengan bidang ekliptika.

     

Sistem Koordinat Ekliptika Geosentrik (Geocentric Ecliptical Coordinate)

Pada sistem koordinat ini, bumi menjadi pusat koordinat. Matahari dan planet-planet lainnya nampak bergerak mengitari bumi. Bidang datar xy adalah bidang ekliptika, sama seperti pada ekliptika heliosentrik.

Gambar 10

Sistem Koordinat Ekliptika Geosentrik

1.     Pusat Koordinat: Bumi (Earth)

2.     Bidang datar referensi: Bidang Ekliptika (Bidang orbit bumi mengitari matahari, yang sama dengan bidang orbit matahari mengitari bumi) yaitu bidang xy.

3.     Titik referensi: Vernal Ekuinoks (VE) yang didefinisikan sebagai sumbu x.

4.     Koordinat:

5.     Jarak benda langit ke bumi (seringkali diabaikan atau tidak perlu dihitung)

6.     Lambda = Bujur Ekliptika (Ecliptical Longitude) benda langit menurut bumi, dihitung dari VE.

7.     Beta = Lintang Ekliptika (Ecliptical Latitude) benda langit menurut bumi yaitu sudut antara garis penghubung benda langit-bumi dengan bidang ekliptika

Sistem Koordinat Ekuator Geosentrik

Ketika bumi bergerak mengitari matahari di bidang Ekliptika, bumi juga sekaligus berotasi terhadap sumbunya. Penting untuk diketahui, sumbu rotasi bumi tidak sejajar dengan sumbu bidang ekliptika. Atau dengan kata lain, bidang ekuator tidak sejajar dengan bidang ekliptika, tetapi membentuk sudut kemiringan (epsilon) sebesar kira-kira 23,5 derajat. Sudut kemiringan ini sebenarnya tidak bernilai konstan sepanjang waktu. Nilainya semakin lama semakin mengecil.

Gambar 11

Sistem Koordinat Ekuator Geosentrik

1.     Pusat koordinat: Bumi

2.     Bidang datar referensi: Bidang ekuator, yaitu bidang datar yang mengiris bumi menjadi dua bagian melewati garis khatulistiwa

3.     Koordinat:

4.     jarak benda langit ke bumi.

5.     Alpha = Right Ascension = Sudut antara VE dengan proyeksi benda langit pada bidang ekuator, dengan arah berlawanan jarum jam. Biasanya Alpha bukan dinyatakan dalam satuan derajat, tetapi jam (hour disingkat h). Satu putaran penuh = 360 derajat = 24 jam = 24 h. Karena itu jika Alpha dinyatakan dalam derajat, maka bagilah dengan 12 untuk memperoleh satuan derajat. Titik VE menunjukkan 0 h.

6.     Delta = Declination (Deklinasi) = Sudut antara garis hubung benda langit-bumi dengan bidang ekliptika.Nilainya mulai dari -90 derajat (selatan) hingga 90 derajat (utara). Pada bidang ekuator, deklinasi = 0 derajat.

Seringkali, Alpha (right ascension) dinyatakan dalam bentuk H (hour angle). Hubungan antara Alpha dengan H adalah H = LST - Alpha.

Disini, LST adalah Local Sidereal Time, yang sudah penulis bahas sebelumnya pada tulisan tentang Macam-Macam Waktu

Sistem Koordinat Horison

Pada sistem koordinat ini, pusat koordinat adalah posisi pengamat (bujur dan lintang) yang terletak di permukaan bumi. Kadang-kadang, ketinggian pengamat dari permukaan bumi juga ikut diperhitungkan. Bidang datar yang menjadi referensi seperti bidang xy adalah bidang horison (bidang datar di sekitar pengamat di permukaan bumi).

Gambar 12

Sistem Koordinat Horison

1.     Pusat koordinat: Pengamat di permukaan bumi

2.     Bidang datar referensi: Bidang horison (Horizon plane)

3.     Koordinat:

4.     Altitude/Elevation = sudut ketinggian benda langit dari bidang horison. h = 0 derajat berarti benda di bidang horison. h = 90 derajat dan -90 derajat masing-masing menunjukkan posisi di titik zenith (tepat di atas kepala) dan nadir (tepat di bawah kaki).

5.     A (Azimuth) = Sudut antara arah Utara dengan proyeksi benda langit ke bidang horison.

Jarak benda langit ke pengamat dalam sistem koordinat ini seringkali diabaikan, karena telah dapat dihitung sebelumnya dalam sistem koordinat ekliptika.

Catatan penting: Dalam banyak buku referensi, azimuth seringkali diukur dari arah selatan (South) yang memutar ke arah barat (West). Gambar 7 di atas juga menunjukkan bahwa azimuth diukur dari arah Selatan. Namun demikian, dalam pemahaman umum, orang biasanya menjadikan arah Utara sebagai titik referensi. Karena itu dalam tulisan ini penulis menjadikan sudut azimuth diukur dari arah Utara. Untuk membedakannya, lambang untuk azimuth dari arah selatan dinyatakan sebagai As, sedangkan azimuth dari arah utara dinyatakan sebagai A saja. Hubungan antara As dan A adalah A = As - 180 derajat. Jika As atau A negatif, tinggal tambahkan 360 derajat.

Suatu sistem koordinat dengan sistem koordinat lainnya dapat dihubungkan melalui transformasi koordinat. Misalnya, dari algoritma untuk menghitung posisi bulan menurut sistem koordinat ekliptika geosentrik, kita dapat menentukan jarak bulan dari pusat bumi, sudut lambda dan beta. Selanjutnya, sudut lambda dan beta ditransformasi untuk mendapat sudut alpha dan delta dalam sistem koordinat ekuator geosentrik. Dari alpha dan beta, serta memperhitungkan posisi pengamat (bujur dan lintang) dan waktu saat pengamatan/penghitungan, maka sudut ketinggian (altitude) dan azimuth bulan menurut sistem koordinat horison dapat diketahui dengan tepat. Rumus-rumus transformasi koordinat yang membutuhkan pengetahuan trigonometri