MAKALAH MATEMATIKA : TRIGONOMETRI

TRIGONOMETRI

2.1.      Pengertian Sudut

a.      Sudut Sebagai Bentuk

ABC lancip                                                              PQR tumpul

ukuran ABC =                                                      ukuran PQR =

ditulis : ABC =                                                     ditulis : PQR =

pada kedua gambar tersebut bentuk dan ukuran ABC  atau PQR sudah tetap

b.      Sudut Dalam kedudukan Baku

      Sudut dikatakan pada kedudukan baku apabila :

1)      Titik sudutnya berimpit dengan titik pangkal O dari salib sumbu Cartesius.

2)      Salah satu kaknya berimpit dengan sumbu x positif. Perhatikan gambar berikut ini:

ABCdalam kesusukan baku                                    PQR dalam kedudukan baku

ABC =                                                                  PQR =

                                                                                          

c.      

y

Sudut Sebagai Jarak Putar

XOA dalam keadaan baku                            XOA dalam keadaan baku

XOA =                                                    XOA =

 = positif                                                          = negatif

Pada bidang kordinat, garis OA mula-mula berimpit dengan sumbu x positf. Jika garis OA diputar dengan pusat O sejauh O mka akan terjadi A_OOA atau XOA = . dengan demikian XOA = dalam kedudukan baku.OA_O atauOX = sisi permulaan XOA. OA= sisi batas XOA.  = jarak putar = ukuran sudut

XOA positif apabila arah memutar OA berlawanan dengan arah putaran jarum jam. XOA negatif apabila arah memutar OA searah dengan arah jarum jam. Pada gambar diatas, sebelah kiri XOA =  sedan sebelah kanan XOA = . Untuk selanjutnya pada buku ini kita menggunkan kesepakatan bahwa :

Ukuran sudut  dan sudut digunakan lambang yang sama. Jadi  dapat melambangkan suatu sudut, tetapi  dapat dilambangkan ukuran sudut.

2.2.      Pengukuran Sudut

a.      Ukuran Sudut

Sudut satuan, disebut satu derajatadalah  putaran.

b.      Ukuran Radian

perhatikan gambar disamping, titik O adalah titik pusat dua lingkaran sepusat.  Jari-jari lingkaran besar OA¹ dan jari-jari lingkaran kecil OB¹ memotong lingkaran kecil di A dan B. Dapat dikatakan disini bahwa juring A¹OB¹ dapat diperoleh dari jurunh AOB dengan perbanyakan (dilatasi), dengan pusat O sehingga :

Nilai perbandinngan  tidak tergantung pada panjang jari-jari lingkaran, tetapi bergantung pada besar AOB. Bilangan yang didapat dari  merupakan ukuran dari AOB, bilangan ini dinamakan ukuran radian dari AOB.

Jika panjang busur AB = panjang jari-jari lingkarannya, maka ukuran dari AOB dalam ukuran radian adalah radian

Jadi ukuran AOB = 1 radian. Dengan demikian ukuran AOC = radian.

Jadi ukuran derajat AOC = 180^o, ukuran radian = radian, maka didapat hubungan :

180^o  = radian                                  29^o = radian

1 radian =

90^o    = radian                              x^o   = radian

Pada penulisan selanjutnya apabila digunakan ukuran radian maka perkataan “radian” tidak ditulis sehingga penulisannya menjadi :

180^o = radian, 90^o = radian, 60^o = radian, dan seterusnya.

Pada buku ini digunakan dua macam ukran sudut, yaitu ukuran derajat dan ukuran radian, misalnya :

, maka ukuran sudut  dinyatakan dalam derajat.

 , maka ukuran sudut  dinyatakan dalam radian.

2.3.      Definisi Fungsi Trigonometri

 

Titik P(x y) pada sisi batas XOP, dengan OP = r. XOP dalam kedudukan baku. Antara  sudut  selalu didapat satu hubungan (relasi) dengan bilangan nyata yang dinyatakan dengan nilai perbandingan :. Keenam nilai perbandingan ini didefinisikan dengan enam fungsi trigonometri dari sudut  atau sudut (-).

sinus       =        cotangen= cosinus   =    secan      = tangen    =    cosecan   =

 

x, y adalah koordinat x dan koordinat y dari titik P, yaitu sebarang titik pada sisi batas sudut , dengan OP = r. Sudut dalam keadaan baku. Jadi untuk setiap sudut  hanya didapat tepat satu  nilai perbandingan . Dengan diagram panah fungsi trigonometri dapat ditunjukkan sebagai berikut :

                                                            

R = Himpunan bilangan real, sebagai kodomain dari relasi

A = , sabagai domain dari relasi

Karena setiap sudut dari anggota domain berkawan dengan tepat satu nilai perbandingan  atau sinus, cosinus, tangen, cotangen, secan, dan cosecan maka relasi-relasi tersebut memenuhi syarat fungsi  dan disebut fungsi triginometri.

Enam fungsi trigonometri tersebut didefinisikan dengan :

	sin=                     cot= cos=                     sec= tan=                     csc=

Dengan x dan ymasing-masing koordinat x dan koordinat y dari titik P pada sisi vatas sudut, r = OP dengan

 

2.4.      Menghitung Nilai Fungsi Trigonometri

Contoh :

1)      Sudut positif  pada kedudukan baku sisi batasnya melalui titik P ( 3 , - 4 ). Carilah keenal nilai fungsi trigonometri sudut.

Penyelesaian :

 positif dalam kedudukan baku jika OP =  r maka = 5

Sehingga :

               

2)      Carilah keenam nilai fungsi trigonometri sudut ( - 135 )^o jika sudut tersebit dalam keadaan baku.

Penyelesaian :

Ambil titik P pada sisi batas sudut ( - 135)^o dengan OP = r maka pasangan koordinat P adalah (  )  jadi ,

3)      Carilah keenm fungsi trigonometri dari sudut 750^o.

Penyelesaian :

Gambar disamping menunjukkan sudut 750^o

750^o = 30 + 2 . 360^o

ambil titik P pada sisi batas sudut 750^o dengan OP = r maka pasangan koordinat titi P adalah  jadi :

                        

2.5.      Tanda Fungsi Tigonometri dari Sudut  dengan

Sudut pada kuadran I   jika atau

Sudut pada kuadran II  jika atau

Sudut pada kuadran III         jika atau

Sudut pada kuadran IV         jika atau

Tanda fungsi trigonometri sudut  dientukan oleh letak sisi batas sudut  tresebut. Misalnya jika sisi batas sudut  terletak di kuadran III maka koordinat x dan koordinat y dari titik P (x,y) yang terletak pada sisi batas sudut  tersebut masing-masing bertanda negatif sedang OP = r bertanda positif. Ini berarti sinus dan cosinus dari sudut  masing-masing bertanda negatif sedang tangen, cotangen bertanda positif. Apabila dicari tanda fungsi trigonometri dari sudut  dengan maka dapat disusun tabel sebagai berikut :

Domain	sin	cos	tan	cot	sec	csc
	+	+	+	+	+	+
	+	-	-	-	-	+
	-	-	+	+	-	-
	-	+	-	-	+	-

Contoh Soal :

1)      Dari sudut, . Carilah sin dan tan.

Jawab:

 dan cos < 0 maka ₁ dikuadran II dan ₂ di kuadran III atau sisi batas sudut ₁ di kuadran II sedang sisi batas sudut ₂ di kuadran III. Ambil titik P pada sisi batas sudut tersebut dengan OP = satuan, x_p = - 1 satuan, maka

 jadi titik P mempunyai pasangan koordinat ( - 1, 2 ) atau ( - 1 , - 2 )

Sehingga :     

2)      Dari sudut , . Carilah sin dan cos.

      Jawab :

r

 dan tan => 0 maka ₁ di kuadran I dan ₂ di kuadran III, sisi batas sudut ₁ di kuadran I sedangkan sisi batas ₂ di kuadran III. Ambil titik P pada sisi batas sudut dengan x_p = 3 , y_p = 4 dan  maka koordinat-koordinat P₁ dan P₂ masing-masing adalah ( 3 , 4 ) dan ( - 3 , - 4 ).

Sehingga :